[확률 및 통계] Bayes' Rule(베이즈 정리)과 몬티홀의 역설

몬티홀의 역설은 매우 유명한 확률 역설 문제 중 하나입니다. 대학교 확률및 통계 과목의 교과서에도 Bayes' Rule (베이즈 정리)를 사용해서 몬티홀의 역설을 설명하는 문제가 있습니다.

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문제의 내용은 다음과 같습니다.

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방 A, B, C 중 하나에는 문 뒤에 상품이 있다. 참가자는 방 A를 골랐다. 사회자는 남은 두 방 중에서 상품이 없는 방을 참가자에게 열어 보여줄 수 있고, 사회자는 방B의 문을 열었다. 그리고 사회자는 이제 당신에게 방 A와 C중에서 다시 고를 기회를 줬다. 이 때, 바꿔야할까 아니면 바꾸지 말아야 할까.

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여러분이 참가자라면 방 문을 바꿔야 할까요?

직관적으로 보면 바꾸거나 바꾸지 않아도 상품을 뽑을 확률은 0.5로 보입니다.

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하지만 실제로는 방 C로 선택을 바꾸는 것이 더 유리합니다.

직관에 벗어나긴 하지만 Bayes' Rule (베이즈 정리)를 통해 문제의 상황에서 각 방에 상품이 있을 확률을 계산해볼 수 있습니다.

 

​https://natics.tistory.com/6

Bayes' Rule (베이즈 정리)에 대해 모르시면 위 링크에서 확인하실 수 있습니다.

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A: 방 A에 상품이 있는 경우

B: 방 B에 상품이 있는 경우

C: 방 C에 상품이 있는 경우

S: 당신이 A를 고르고 사회자가 B를 보여준 경우 (A와 C를 고르기 전의 상황)

문제를 상황을 이와 같은 사건들로 정리합니다.

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그렇다면 방 A에 상품이 있을 확률 (방 A를 골랐을 때 상품을 뽑을 확률)을 구할 수 있습니다.

정확히는 조건부 확률로 나타내야합니다. 사건 S가 일어났을 때 A의 확률인 것입니다.

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Bayes' Rule (베이즈 법칙)을 사용해서 다음과 같은 식을 만들 수 있습니다.

사건 S가 일어났을 때 C일 확률도 동일한 방법으로 구할 수 있습니다.

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이제 우항에 있는 확률들만 구해주면 구하고자 하는 확률을 구할 수 있습니다.

우항에 있는 확률들은 따로 계산이 필요하지는 않고 논리적으로 구할 수 있습니다.

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우선,

이므로, 두 식을 더 간단하게 표현할 수 있습니다.

이제 우항의 각 확률을 구하겠습니다.

\(P(S|A)\)는 상품이 방 A에 있을 때, 참여자가 A를 뽑고 사회자가 B를 보여줄 확률입니다. 참여자가 이미 상품이 있는 방을 골랐기 때문에 사회자가 보여줄 수 있는 방은 C또는 D입니다. 따라서 확률은 1/2입니다.

\(P(S|B)\)는 상품이 방 B에 있을 때, 참여자가 A를 뽑고 사회자가 B를 보여줄 확률입니다. 사회자는 상품이 있는 방은 보여줄 수 없기 때문에 확률은 0입니다.

\(P(S|C)\)는 상품이 방 C에 있을 때, 참여자가 A를 뽑고 사회자가 B를 보여줄 확률입니다. 사회자는 어쩔 수 없이 B를 보여줄 수 밖에 없기 때문에 확률은 1입니다.

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따라서, 두 확률은

로 계산할 수 있습니다. 따라서, 참가자는 방C로 바꾸는 것이 유리하다는 것을 알 수 있습니다.